\[\definecolor{red}{RGB}{255,0,0} \definecolor{purple}{RGB}{154,0,154} \definecolor{blue}{RGB}{0,0,224} \definecolor{green}{RGB}{0,187,0} \definecolor{yellow}{RGB}{255,234,0} \definecolor{pink}{RGB}{255,77,166} \definecolor{orange}{RGB}{255,120,0} \definecolor{grey}{RGB}{128,128,128} \definecolor{black}{RGB}{0,0,0} \definecolor{white}{RGB}{255,255,255} \newcommand{\R}{\_mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand\given[1][]{\:#1\vert\:} \DeclareMathOperator{\Corr}{Corr} \DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}\]

Calcul matriciel

Notations

Scalaire ou Matrice ?

On notera les scalaires en minuscule et les matrices en majuscule.

Taille d’une matrice

\[\begin{split}M_{3,2} = \begin{bmatrix}a & b\\ c & d \\ e & f\end{bmatrix}\end{split}\]
  • Cette matrice \(M_{3,2}\) contient 3 lignes et 2 colonnes, on dira qu’elle est de taille 3x2 et non pas 2x3.

Comment parler d’un élément spécifique dans la matrice ?

Pour une matrice \(M\), l’élément à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\) se trouve à \((M_{i,j})\) (avec les parenthèses pour ne pas confondre avec la taille d’une matrice).

Définitions

Propriétés des matrices

  • \(PDP^{T}=P^{T}DP\) où \(D\) est une matrice des valeurs propres et P une matrice des vecteurs propres
  • Associativité : \(A*(B*C)=(A*B)*C\)
  • Distributivité : \(A*(B+C)=A*B+A*C\)
  • Distributivité : \((A+B)*C=A*C+B*C\)
  • \(c(A*B)=(cA)*B=A*(cB)\)

Matrice creuse (ou sparse matrix)

Se dit d’une matrice qui contient beaucoup de zéros. Elle peut donc être compressée en utilisant une structure de données appropriée.

Matrice pleine (ou dense matrix)

Se dit d’une matrice dont toutes les composantes (cases) sont utilisées.

Matrice nulle

Se dit d’une matrice dont tous les coefficients sont nuls.

\[\begin{split}M = \begin{bmatrix}0 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0\end{bmatrix}\end{split}\]

Matrice carrée

Se dit d’une matrice qui dispose du même nombre de lignes que de colonnes.

Matrice diagonale (!= matrice diagonalisable)

Se dit d’une matrice carrée nulle sauf sur sa diagonale.

\[\begin{split}D = \begin{bmatrix}42 & 0 & 0\\ 0 & -36 & 0 \\ 0 & 0 & -2i\end{bmatrix} = diag(42, -36, -2i)\end{split}\]

Matrice identité, notée \(I\)

Se dit d’une matrice carrée de taille supérieur à 1, avec des 1 sur sa diagonale et des 0 partout ailleurs.

\[\begin{split}I = \begin{bmatrix}1 & \ldots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1\end{bmatrix} = diag(1, ..., 1)\end{split}\]

Pour une matrice identité de taille 2, on pourra la noter \(I_2\).

\[\begin{split}I_2 = \begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} = diag(1, 1)\end{split}\]

La matrice identité dispose d’une propriété interessante (TODO: la définir) :

\[\begin{split}A_{2,3} = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\end{split}\]

Matrice de passage

TODO

Matrice transposée, notée \(U^{T}\)

C’est une transformation transposant une matrice par rapport à sa diagonale.

\[\begin{split}\text{Si } U = \begin{bmatrix}1+i & 1 & i-2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 3 & -i & i\end{bmatrix}\text{alors } U^{T} = \begin{bmatrix}1+i & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -i \\ i-2 & 1 & i\end{bmatrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\text{Si } U = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}\text{alors } U^{T} = \begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}\end{split}\]

On a donc \((M_{i,j})=(M_{j,i})\)